Решение обратных задач теплопроводности для элементов конструкций простой геометрической формы

Наоборот, если по определенной информации о температурном поле требуется восстановить причинные характеристики, то имеем ту или иную постановку обратной задачи теплообмена.

Постановки обратных задач, в отличие от прямых, не соответствуют физически реализуемым событиям.

Например, нельзя обратить ход теплообменного процесса и тем более изменить течение времени. Таким образом, можно говорить о физической некорректности постановки обратной задачи.

Естественно, что при математической формализации она проявляется уже как математическая некорректность (чаще всего неустойчивость решения) и обратные задачи представляют собой типичный пример некорректно поставленных задач в теории теплообмена.

Граничная ОЗТ — восстановление тепловых условий на границе тела. К этому типу задач отнесем также задачу, связанную с продолжением решения уравнения теплопроводности от некоторой границы, где одновременно заданы температура Т( х*, т) и плотность теплового потока q( х*, т); Организация охлаждения конструкции камер сгорания является одним из важнейших вопросов проектирования и по сравнению с другими типами тепловых машин усложняется тем, что тепловые процессы протекают при высоких температурах /13/. Вследствие мощных суммарных конвективных и лучистых тепловых потоков в стенке камеры температура ее может достигать значений превышающих (1000 - 1500 Коэффициент теплоотдачи от продуктов сгорания определяется с учетом совместного воздействия конвективного и лучистого теплового потоков в соответствующем сечении конструкции узла по значениям параметров (давление, состав и температура продуктов сгорания в ядре газового потока и в пристеночном слое) на установившемся режиме эксплуатации /13/. Время выхода рассматриваемых конструкций на установившийся тепловой режим соизмеримо и может оказаться даже большим времени их работы при эксплуатации. В этих условиях задача определения теплового состояния в период работы сводится к расчету прогрева их под воздействием высокотемпературных продуктов сгорания /1, 2/. Рассмотрим следующую схему корпуса камеры сгорания. На поверхности в сечении располагается по две точки замера, расположенных в диаметрально противоположных точках периметра корпуса. В сечении I - I корпуса сопла можно представить в виде однослойной неограниченной пластины, двухслойной - сечение II - II (Рис.1). Расчетные схемы элементов конструкции представлены на рисунке

Требуется по замерам температуры и теплового потока к пластине (рис.2) при X = 0 найти изменения температуры и теплового потока на поверхности X = 1. Решение обратной тепловой задачи в такой постановке целесообразно построить с использованием решения задачи Коши /3/. В пространстве переменных задана некоторая гладкая поверхность Г. С каждой точкой связывается некоторое направление Г.

Нетрудно убедиться, что решение задачи (1), (2), записанное в виде: (3) и является искомым /10/. Утверждения о существовании решения (3), об аналитичности этого решения и его единственности в классе аналитических функций составляют содержание известной классической теоремы Коши - Ковалевской /11/. Решение (13) при заданных и позволяет найти искомые изменения температуры и теплового потока Однако в такой интерпретации решения (3), где функции известны из эксперимента с некоторой заданной погрешностью, необходимо учитывать и тот факт, что вычисление операторов дифференцирования неустойчиво к возмущениям в исходных данных /12/. Таким образом, имеем типичную некорректную задачу, для построения устойчивого решения которой необходимо построение регуляризирующих алгоритмов.

Сохраним в решении (3) конечное число слагаемых N. Введем обозначения (4) Интегрируя (4) получим систему интегральных уравнений Вольтерра первого рода: , (5) где k =1, 2, ... , N. Соотношения для теплового потока в (3) записывается аналогично. В дальнейшем будем считать, что на поверхности X = 0 теплосъем отсутствует, то есть стенка теплоизолирована. Тогда решение (3) с учетом обозначений (4) записывается в виде (6) Таким образом, граничные условия при X = 1 восстанавливаются соотношением (6), в котором функции находятся из решения интегральных уравнений (5) (7) где правая часть задается приближенно, то есть Здесь - числовой параметр, характеризующий погрешность правой части уравнения (7). Задача (7) является, в общем случаи некорректно поставленной /12/. Наиболее распространенным в настоящее время эффективным регуляризующим алгоритмом для ее решения является алгоритм, основанный на минимизации функционала А.Н.Тихонова /12/. (8) С последующим выбором параметра регуляризации по так называемому принципу невязки.

Например, если - какая - либо экстремаль функционала (8), реализующая его глобальный минимум при заданном и фиксированном определяется из условия (9) Регуляризующий алгоритм (7) - (9) подробно изучен в /12/ и обладает устойчивостью к малым возмущениям правой части (7). Правая часть уравнения (7) при решении формировалась следующим образом.

Функция характеризующая изменение температуры поверхности, задавалась таблицей.

Начальные условия для /3/: (10) где , - распределение температуры, заданное в начальный момент времени.

Откуда для равномерного распределения температуры в начальный момент времени имеет (11) Из анализа теплофизических и геометрических характеристик конструкции камеры сгорания следует возможность представления системы пластин теплового отношения (рис.1) в виде пластины из теплозащитного покрытия и оболочки, которую можно рассматривать как тепловую емкость. Это дает возможность воспользоваться для построения решения обратной тепловой задачи для заданного узла решением задачи Коши (3). В системе координат, представленной на Рис.1, поверхность при X = 0 будем считать теплоизолированной, то есть (12) Кроме этого предположим, система пластин в начальный момент времени прогрета равномерно и, следовательно, начальные условия для функции имеют вид (11). При сделанных выше предположениях условия Коши (12) для этой задачи имеют вид (13) Где Подставляя значение из условия (2) в решение задачи Коши (3) получим (14) где Таким образом, решение этой задачи имеет вид (15) где нам задана, а функции (n=1, 2, … , N) определяются из решения интегральных уравнений Вольтерра первого рода (5) методом регуляризации (7) - (9). Следовательно, искомые величины с использованием регуляризирующего алгоритма (7) - (9). Метод наименьших квадратов. Пусть функция задана на своими значениями в точках (16) линейно независимых на Будем отыскивать линейную комбинацию этих функций (17) так, чтобы сумма квадратов ее отклонений от заданных значений функции в узлах имела бы наименьшее возможное значение, то есть величина (18) принимала бы минимальное значение.

Заметим, что упомянутая сумма является функцией коэффициентов (19) Поэтому для решения нашей задачи воспользуемся известным приемом дифференциального исчисления, а именно: найдем частные производные функции где Отсюда видим, что метод наименьших квадратов приводит к необходимости решать систему алгебраических уравнений (20) Можно доказать, что если среди точек нет совпадающих и Ф = 0. Следовательно, мы приходим здесь к рассмотренной ранее задаче интерполирования.

Функции , как известно, образуют систему Чебушева на любом сегменте и могут быть использованы для практической реализации описанного метода. Легко видеть, что коэффициенты и свободные члены системы (20) в этом случае представим как (21) (22) Заметим здесь, что матрица является симметричной и положительно определенной, так как квадратичная форма неотрицательна для любых значений переменных причем только при Действительно, Пусть задана система алгебраических уравнений (23) где - невырожденная квадратная матрица m – го порядка, а и - вектор – столбцы, согласованные в размерностью матрицы А. Выделяют два класса методов решения таких систем: прямые и итерационные.

Прямые методы основаны на разложении матрицы А в произведении более простых матриц (диагональных, треугольных, ортогональных). В этом случае исходная система уравнений (23) распадается на несколько более простых систем, решаемых последовательно. Если при этом все вычисления производить без округлений, то через вполне определенное заранее известное конечное число шагов получится точное решение системы (23). Поэтому их называют также точными.

Альтернативой для указанных методов являются итерационные алгоритмы, в которых решение находится как предел при последовательных приближений , где - номер итераций.

Т, К

Рис. 8. Температура поверхности и экспериментальная температура для двухслойной пластины точки 2.

Влияние погрешностей исходной информации на решение обратной задачи теплопроводности оценивалось с помощью метода статистических испытаний Монте – Карло / 5-8 /. Анализ результата статистического моделирования решения обратной задачи позволяет установить коридор ошибок искомых граничных условий. Одним из методов решения ОЗТ является метод статистических испытаний Монте –Карло, который заключается в статистическом моделировании аналитических решений ОЗТ с учетом случайного характера исходных данных /121/. В методе Монте-Карло основным является случайная выборка исходных данных /24/. В данной работе для этого необходим источник случайных чисел.

Введем для исходных данных обозначение (24) где j – го параметра в точках.