Решение обратных задач теплопроводности для элементов конструкций простой геометрической формы

Решение обратных задач теплопроводности для элементов конструкций простой геометрической формы

Наоборот, если по определенной информации о температурном поле требуется восстановить причинные характеристики, то имеем ту или иную постановку обратной задачи теплообмена.

Постановки обратных задач, в отличие от прямых, не соответствуют физически реализуемым событиям.

Например, нельзя обратить ход теплообменного процесса и тем более изменить течение времени. Таким образом, можно говорить о физической некорректности постановки обратной задачи.

Естественно, что при математической формализации она проявляется уже как математическая некорректность (чаще всего неустойчивость решения) и обратные задачи представляют собой типичный пример некорректно поставленных задач в теории теплообмена.

Граничная ОЗТ — восстановление тепловых условий на границе тела. К этому типу задач отнесем также задачу, связанную с продолжением решения уравнения теплопроводности от некоторой границы, где одновременно заданы температура Т( х*, т) и плотность теплового потока q( х*, т); Организация охлаждения конструкции камер сгорания является одним из важнейших вопросов проектирования и по сравнению с другими типами тепловых машин усложняется тем, что тепловые процессы протекают при высоких температурах /13/. Вследствие мощных суммарных конвективных и лучистых тепловых потоков в стенке камеры температура ее может достигать значений превышающих (1000 - 1500 Коэффициент теплоотдачи от продуктов сгорания определяется с учетом совместного воздействия конвективного и лучистого теплового потоков в соответствующем сечении конструкции узла по значениям параметров (давление, состав и температура продуктов сгорания в ядре газового потока и в пристеночном слое) на установившемся режиме эксплуатации /13/. Время выхода рассматриваемых конструкций на установившийся тепловой режим соизмеримо и может оказаться даже большим времени их работы при эксплуатации. В этих условиях задача определения теплового состояния в период работы сводится к расчету прогрева их под воздействием высокотемпературных продуктов сгорания /1, 2/. Рассмотрим следующую схему корпуса камеры сгорания. На поверхности в сечении располагается по две точки замера, расположенных в диаметрально противоположных точках периметра корпуса. В сечении I - I корпуса сопла можно представить в виде однослойной неограниченной пластины, двухслойной - сечение II - II (Рис.1). Расчетные схемы элементов конструкции представлены на рисунке

I
II
II
I
Рис. 1. Схема корпуса камеры сгорания.
2 и 3.
Рис. 2. Сечение I – I однослойной неограниченной пластины.
Рис. 3. Сечение II – II двухслойной неограниченной пластины.
Обратная тепловая задача для пластины формулируется следующим образом.

Требуется по замерам температуры и теплового потока к пластине (рис.2) при X = 0 найти изменения температуры и теплового потока на поверхности X = 1. Решение обратной тепловой задачи в такой постановке целесообразно построить с использованием решения задачи Коши /3/. В пространстве переменных задана некоторая гладкая поверхность Г. С каждой точкой связывается некоторое направление Г.

В окрестности поверхности Г требуется найти решение уравнения.
удовлетворяющего условиям Коши где - безразмерные время и координата.

Нетрудно убедиться, что решение задачи (1), (2), записанное в виде: (3) и является искомым /10/. Утверждения о существовании решения (3), об аналитичности этого решения и его единственности в классе аналитических функций составляют содержание известной классической теоремы Коши - Ковалевской /11/. Решение (13) при заданных и позволяет найти искомые изменения температуры и теплового потока Однако в такой интерпретации решения (3), где функции известны из эксперимента с некоторой заданной погрешностью, необходимо учитывать и тот факт, что вычисление операторов дифференцирования неустойчиво к возмущениям в исходных данных /12/. Таким образом, имеем типичную некорректную задачу, для построения устойчивого решения которой необходимо построение регуляризирующих алгоритмов.

Сохраним в решении (3) конечное число слагаемых N. Введем обозначения (4) Интегрируя (4) получим систему интегральных уравнений Вольтерра первого рода: , (5) где k =1, 2, ... , N. Соотношения для теплового потока в (3) записывается аналогично. В дальнейшем будем считать, что на поверхности X = 0 теплосъем отсутствует, то есть стенка теплоизолирована. Тогда решение (3) с учетом обозначений (4) записывается в виде (6) Таким образом, граничные условия при X = 1 восстанавливаются соотношением (6), в котором функции находятся из решения интегральных уравнений (5) (7) где правая часть задается приближенно, то есть Здесь - числовой параметр, характеризующий погрешность правой части уравнения (7). Задача (7) является, в общем случаи некорректно поставленной /12/. Наиболее распространенным в настоящее время эффективным регуляризующим алгоритмом для ее решения является алгоритм, основанный на минимизации функционала А.Н.Тихонова /12/. (8) С последующим выбором параметра регуляризации по так называемому принципу невязки.

Например, если - какая - либо экстремаль функционала (8), реализующая его глобальный минимум при заданном и фиксированном определяется из условия (9) Регуляризующий алгоритм (7) - (9) подробно изучен в /12/ и обладает устойчивостью к малым возмущениям правой части (7). Правая часть уравнения (7) при решении формировалась следующим образом.

Функция характеризующая изменение температуры поверхности, задавалась таблицей.

Начальные условия для /3/: (10) где , - распределение температуры, заданное в начальный момент времени.

Откуда для равномерного распределения температуры в начальный момент времени имеет (11) Из анализа теплофизических и геометрических характеристик конструкции камеры сгорания следует возможность представления системы пластин теплового отношения (рис.1) в виде пластины из теплозащитного покрытия и оболочки, которую можно рассматривать как тепловую емкость. Это дает возможность воспользоваться для построения решения обратной тепловой задачи для заданного узла решением задачи Коши (3). В системе координат, представленной на Рис.1, поверхность при X = 0 будем считать теплоизолированной, то есть (12) Кроме этого предположим, система пластин в начальный момент времени прогрета равномерно и, следовательно, начальные условия для функции имеют вид (11). При сделанных выше предположениях условия Коши (12) для этой задачи имеют вид (13) Где Подставляя значение из условия (2) в решение задачи Коши (3) получим (14) где Таким образом, решение этой задачи имеет вид (15) где нам задана, а функции (n=1, 2, … , N) определяются из решения интегральных уравнений Вольтерра первого рода (5) методом регуляризации (7) - (9). Следовательно, искомые величины с использованием регуляризирующего алгоритма (7) - (9). Метод наименьших квадратов. Пусть функция задана на своими значениями в точках (16) линейно независимых на Будем отыскивать линейную комбинацию этих функций (17) так, чтобы сумма квадратов ее отклонений от заданных значений функции в узлах имела бы наименьшее возможное значение, то есть величина (18) принимала бы минимальное значение.

Заметим, что упомянутая сумма является функцией коэффициентов (19) Поэтому для решения нашей задачи воспользуемся известным приемом дифференциального исчисления, а именно: найдем частные производные функции где Отсюда видим, что метод наименьших квадратов приводит к необходимости решать систему алгебраических уравнений (20) Можно доказать, что если среди точек нет совпадающих и Ф = 0. Следовательно, мы приходим здесь к рассмотренной ранее задаче интерполирования.

Функции , как известно, образуют систему Чебушева на любом сегменте и могут быть использованы для практической реализации описанного метода. Легко видеть, что коэффициенты и свободные члены системы (20) в этом случае представим как (21) (22) Заметим здесь, что матрица является симметричной и положительно определенной, так как квадратичная форма неотрицательна для любых значений переменных причем только при Действительно, Пусть задана система алгебраических уравнений (23) где - невырожденная квадратная матрица m – го порядка, а и - вектор – столбцы, согласованные в размерностью матрицы А. Выделяют два класса методов решения таких систем: прямые и итерационные.

Прямые методы основаны на разложении матрицы А в произведении более простых матриц (диагональных, треугольных, ортогональных). В этом случае исходная система уравнений (23) распадается на несколько более простых систем, решаемых последовательно. Если при этом все вычисления производить без округлений, то через вполне определенное заранее известное конечное число шагов получится точное решение системы (23). Поэтому их называют также точными.

Альтернативой для указанных методов являются итерационные алгоритмы, в которых решение находится как предел при последовательных приближений , где - номер итераций.

Рис. 4. Температура поверхности и экспериментальная температура для однослойной пластины.
Рис. 9. Тепловой поток и коэффициент теплоотдачи для двухслойной пластины точки 2.
Т, К
Т, К
Рис. 7. Тепловой поток и коэффициент теплоотдачи для двухслойной пластины точки 1.
Рис. 6. Температура поверхности и экспериментальная температура для двухслойной пластины точки 1.
Т, К
Т, К
Т, К
Рис. 5. Тепловой поток и коэффициент теплоотдачи для однослойной пластины.
Т, К
Рис. 8. Температура поверхности и экспериментальная температура для двухслойной пластины точки 2.
В реальных условиях измеряемые температуры (то есть исходные данные для обратной тепловой задачи) являются случайными величинами из-за дефектов производства, технологии изготовления, загрязнения поверхности, погрешности измерения и обработки экспериментальной информации.

Влияние погрешностей исходной информации на решение обратной задачи теплопроводности оценивалось с помощью метода статистических испытаний Монте – Карло / 5-8 /. Анализ результата статистического моделирования решения обратной задачи позволяет установить коридор ошибок искомых граничных условий. Одним из методов решения ОЗТ является метод статистических испытаний Монте –Карло, который заключается в статистическом моделировании аналитических решений ОЗТ с учетом случайного характера исходных данных /121/. В методе Монте-Карло основным является случайная выборка исходных данных /24/. В данной работе для этого необходим источник случайных чисел.

Введем для исходных данных обозначение (24) где j – го параметра в точках.

Таможенное право

Медицина

Литература, Лингвистика

Технология

Физика

Культурология

История

Уголовное право

Разное

Философия

Экскурсии и туризм

Маркетинг, товароведение, реклама

Программирование, Базы данных

Бухгалтерский учет

Микроэкономика, экономика предприятия, предпринимательство

Охрана природы, Экология, Природопользование

Политология, Политистория

Право

География, Экономическая география

Физкультура и Спорт

Педагогика

Историческая личность

Иностранные языки

Экономическая теория, политэкономия, макроэкономика

Правоохранительные органы

Материаловедение

Юридическая психология

Религия

Муниципальное право России

Ценные бумаги

Биология

Геология

Трудовое право

Радиоэлектроника

Социология

Транспорт

Психология, Общение, Человек

Программное обеспечение

Компьютеры и периферийные устройства

Международные экономические и валютно-кредитные отношения

Математика

Искусство

Металлургия

Техника

Менеджмент (Теория управления и организации)

Сельское хозяйство

Теория государства и права

Военная кафедра

Ветеринария

Теория систем управления

Банковское дело и кредитование

Международное частное право

Государственное регулирование, Таможня, Налоги

Химия

История экономических учений

Компьютерные сети

Здоровье

Налоговое право

Финансовое право

Биржевое дело

Музыка

Астрономия

Экологическое право

Римское право

История политических и правовых учений

Криминалистика и криминология

Семейное право

Административное право

Экономико-математическое моделирование

Пищевые продукты

Жилищное право

Подобные работы

Вещество в состоянии плазмы

echo "Содержание: TOC o '1-2' Возникновение плазмы. PAGEREF _Toc533596029 h 3 Квазинейтральность плазмы. PAGEREF _Toc533596030 h 10 Движение частиц плазмы. PAGEREF _Toc533596031 h 13 Применение плазмы

Лазер на красителях

echo "Параметры излучения твердотельного лазера в значительной степени зависят от оптических качеств используемого кристалла. Неоднородности кристаллической структуры могут серьезно ограничивать коге

Двигатель внутреннего сгорания

echo "Мертвыми точками называются крайние верхнее и нижнее положения поршня, где его скорость равна нулю. Верхняя мертвая точка сокращенно обозначается в.м.т ., нижняя мертвая точка – н.м.т . Рабочий

Ядерные иследования

echo "Физику относят к точным наукам. Ее понятия и законы составляют основу естествознания. Границы, разделяющие физику и другие естественные науки, исторически условны. Принято считать, что в своей

Решение обратных задач теплопроводности для элементов конструкций простой геометрической формы

echo "Наоборот, если по определенной информации о температурном поле требуется восстановить причинные характеристики, то имеем ту или иную постановку обратной задачи теплообмена. Постановки обратных

Некоторые парадоксы теории относительности

echo "Зародилось, таким образом, представление об абсолютном движении относительно системы, связанной с эфиром, представление, противоречащее более ранним воззрениям классической механики (принцип отн

Защита от электромагнитных излучений

echo "Защита от электромагнитных излучений. Новейшие современные открытия и технологии в области тонких физических полей позволяют по другому взглянуть казалось бы на совсем для нас обычные и привычн

Твёрдость. Сверхпроводимость

echo "Методы измерения твёрдости UCI метод UCI (Ultrasonic Contact Impedance) метод позволяет осуществлять быстрое и удобное измерение твердости по Виккерсу без применения микроскопа. Принцип измерен