Высшая математика (шпаргалка)

Высшая математика (шпаргалка)

Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х= {X 1 ,X 2 ,...X n } вектор дан в n -мерном пространстве. Т( X 1 ,X 2 ,X 3 ). n =1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или || -ных прямых.

Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||- ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну. 1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А || В. б) l >0, то А В, l то А В . в) l >1, то А В , ) l то А > В . 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n : а /n=a*(1/n) . 3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c , который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а. 2.3. Декартова прямоугольная система координат. Базис.

Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней. Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов. Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве. ОС =OA+OB, OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj. Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе 4. Действия над векторами. а =х 1 i +y 1 j+z 1 k; b =х 2 i +y 2 j+z 2 k l *a= l ( х 1 i +y 1 j+z 1 k)= l ( х 1 )i+ l (y 1 )j+ l (z1)k a ± b =(x 1 ± x 2 )i+(y 1 ± y 2 )j+(z 1 ± z 2 )k ab =x 1 x 2 ii+y 1 x 2 ij+x 2 z 1 ki+x 1 y 2 ij+y 1 y 2 jj+ z 1 y 2 kj+x 1 z 1 ik+y 1 z 2 jk+z 1 z 2 kk=x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ii =1; ij=0; и т.д. скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов. аа = x 2 +y 2 +z 2 =|a| 2 a{x,y,z}, aa=|a|*|a| , то a 2 =|a| 2 ab =|a|*|b|*cos j а)ав=0, а ^ в , x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 =0 б)а|| в - коллинеарны, если , x 1 /x 2 =y 1 /y 2 =z 1 /z 2 5. Скалярное произведение векторов и его свойства. -(“ skala ” - шкала) 2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. (а,в)- скалярное произведение. а*в= | а |*|в|*cos j , j = p /2, cos p /2=0, a ^ b=>ab=0. Равенство “0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие их перпендикулярности (ортогональности). 6. Векторное произведение 2х векторов. левая ----- правая Тройка векторов а,в,с наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки. Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки - левая.

Векторным произведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с, который удовлетворяет условиям: 1. |c|=|a|*|b|*sin j . 2. c ^ a и c ^ b . 3. тройка а,в,с-правая. 7. Смешанное произведение векторов и его свойства.

Смешанным произведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом: a *b*c=[a*b]*c=a*[b*c] , где a ={a x ,a y ,a z } b ={b x ,b y ,b z } c ={c x ,c y ,c z } Св-ва: 1. При перестановке 2х сомножителей: a *b*c=-b*c*a 2. не меняется при перестановке циклических сомножителей: a *b*c=c*a*b=b*c*a 3.а)(Геометрич. смысл) необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство a *b*c=0 б)если некомпланарные вектора a ,b,c привести к 1 началу, то |a*b*c|=V параллепипеда, построенного на этих векторах если a*b*c>0, то тройка a,b,c - правая если a*b*c 8. Уравнение линии и поверхности. 1. Уравнение сферы.

Сферагеометрическое место точек, равноудаленных от 1ой точки, называемой центром. O(a,b,c) |OM|=r, OM={x-a,y-b,z-c} r 2 =(x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 - уравнение сферы. x 2 +y 2 +z 2 =r 2 - ур-е сферы с центром точке(0,0). F ( x,y,z)=0- ур-е поверхности - ур-ю, удовлетворяющему координатам x,y,z любой точки, лежащей на поверхности. 2. Уравнение окружности |OM|=r, OM={x-a,y-b) r 2 =(x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 - ур-е окружности а= b =0, то x 2 +y 2 =r 2 F(x,y)=0- ур-е линии на плоскости. 9. Плоскость в пространстве. Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору. N - вектор нормали M 0 M {x-x 0 ,y-y 0 ,z-z 0 } Для того, чтобы точка M P, необходимо и достаточно чтобы вектора N ^ M 0 M (т.е. N*M 0 M=0) A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+С(z-z 0 )=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку ^ вектору. 10. Общее уравнение плоскости. Ax+By+Сz-Ax 0 -By 0 -Сz 0 =0 -Ax 0 -By 0 -Сz 0 =D, где D=Ax+By+Сz Ax+By+Сz+D=0 Частный случай: Если D=0 , то Ax+By+Сz=0( проходит ч/з 0;0) Если A=0 , то By+Сz+D=0 Если B=0 , то Ax +Сz+D=0 Если C=0 , то Ax+By+D=0 Если A=B=0 , то Сz+D=0 Если A=C=0 , то By+D=0 Если A=D=0 , то By+Сz=0 Если B=D=0 , то Ay+Сz=0 11 . Взаимное расположение плоскостей. N 1 ,N 2 -нормальные векторы плоскости. P:A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 Q:A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 P ^ Q{A 1 ,B 1 ,C 1 } Q ^ N 2 {A 2 ,B 2 ,C 2 } 1)Пусть P ^ Q N 1 ^ N 2 A 1 A 2 +B 1 B 2 +C 1 C 2 =0 условие перпендикулярности P ^ Q. 2) Пусть P ^ Q N 1 ^ N 2 A 1 /A 2 =B 1 /B 2 =C 1 /C 2 - Условие параллельности 2х плоскостей. A 1 /A 2 =B 1 /B 2 =C 1 /C 2 =D 1 /D 2 - Условие совпадения 2х плоскостей. 12. Каноническое уравнение прямой в пространстве. M 0 M {x-x 0 ,y-y 0 ,z-z 0 } Чтобы точка М прямой(или лежала на ней) необх. и достаточно, чтобы M 0 M ||S 13 . Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки. l m n S {x 2 -x 1 ,y 2 -y 1 ,z 2 -z 1 } 14 . прямая, как пересечение плоскостей.

Нахождение начальной точки и направляющего вектора прямой. P:A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 Q:A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 Общее ур-е прямой в пространстве. Для того, чтобы перейти от общего к каноническому ур-ю прямой, надо задать начальную точку и направляющий вектор: 1. Найдем начальную точку: Z=0 M 0 (x 0 ,y 0 ,0) , т.к. Z=0 2. Найдем направляющий вектор S -? P ^ N 1 {A 1 ,B 1 ,C 1 } Q ^ N 1 {A 2 ,B 2 ,C 2 } S =N 1 *N 2 16. Взаимное расположение прямой на плоскости. P:A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 ^ N 1 {A 1 ,B 1 } Q:A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 ^ N 2 {A 2 ,B 2 } а ) то б) q N 1 ||N 2 , то A 1 /A 2 =B 1 /B 2 в) N 1 ^ N 2 , то A 1 A 2 +B 1 B 2 =0 17. Общее ур-е прямой линии на плоскости. Его частные случаи.

Сначала запишем ур-е прямой, проходящей через заданную точку ^ заданному вектору. M 0 (x 0 ,y 0 ) M 0 M {x-x 0 ,y-y 0 } n*M 0 M=0 A(x-x 0 )+B(y-y 0 )=0 Ax+By-Ax 0 -By 0 =0 -Ax 0 -By 0 =C Ax+By+C=0- общее уравнение прямой на плоскости. 18.19. Каноническое ур-е прямой линии на плоскости. Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 точки. Ур-е с угловым коэффициентом. y-y 1 =k 1 (x-x 1 ) y=k 1 x-k 1 x 1 +y 1 y 1 -k 1 x 1 =b y=k 1 x+b ур-е прямой с угловым коэффициентом k . Пусть даны 2 точки M 1 (x 1 ,y 1 ), M 2 (x 2 ,y 2 ) и x 1 ¹ x 2 , y 1 ¹ y 2 . Для составления уравнения прямой М 1 М 2 запишем уравнения пучка прямых, проходящих через точку М 1 : y-y 1 =k(x-x 1 ). Т.к. М 2 лежит на данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки М 2 в уравнение пучка М 1 : y-y 1 =k(x-x 1 ) и найдем k: Теперь вид искомой прямой имеет вид: - Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 20 ,21. Угол м/ду прямыми на плоскости.

Условия || и ^ . а) S 1 {l 1 ,m 1 } S 2 {l 2 ,m 2 }, или p:y=k 1 x+b 1 , k 1 =tg j 1 q:y=k 2 x+b 2 , k 2 =tg j 2 =>tg j =tg( j 2 - j 1 )= =(tg j 2 -tg j 1 )/(1+ tg j 1 tg j 2 )= =(k 2 -k 1 )/(1+k 1 k 2 ). б) p||q, tg j =0, k 1 =k 2 в) p ^ q, то 22 . Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве. 1. Ax+By+C=0, M 0 (x 0 ,y 0 ) 2 . Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0 23 . Кривые линии 2-го порядка.

Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я: Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0 , где а) Каноническое ур-е эллипса - Каноническое ур-е эллипса Если a=b, то x 2 +b 2 =a 2 - ур-е окружности. б) Ур-е гиперболы: x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =1 в) ур-е параболы: y 2 =2px или y=ax 2 г) ур-е сферы: x 2 +y 2 +z 2 =а 2 ( r 2 =(x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 ) д) ур-е эллипса: x 2 /a 2 -y 2 /b 2 +z 2 /c 2 =1 24. Парабола и ее свойства.

Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax 2 , где х и у - текущие координаты, анек. число, наз. параболой. Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид y 2 =2pxсимметрично отн. оси ОХ х 2 =2pусимметрично отн. оси ОУ Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса. Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2 Св-ва: 1. парабола предст. собой точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax 2 . 25.Эллипс и его св-ва: Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки А x 2 +Cy 2 = d ур.-е наз. канонич. ур.-ем эллипса, где При а=в представляет собой ур-е окружности х 2 + y 2 =а 2 Точки F 1 (-c,0) и F 2 (c,0) - наз. фокусами эллипса а.

Отношение e =с/а наз. его эксцентриситетом ( 0 e Точки A 1 ,A 2 ,B 1 ,B 2 - вершины эллипса. Св-во: Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а. 26. Гипербола и ее св-ва.

Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax 2 +Cy 2 = d , коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С 0 б) Если d >0 , то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =1, F1(c,o) и F 2 (-c,0) - фокусы ее, e >0, e =c/a - эксцентриситет. Св-во: для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а. б) если d =0, ур-е примет вид x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0, получаем 2 перекрестные прямые х/а ± у/ b=0 в) если d 2 /a 2 -y 2 /b 2 =-1 - ур-е сопряженной гиперболы. 27. Понятие о поверхностях 2го порядка.

Алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. ур-е вида Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+ e y+F=0 , где A,B,C,D, e ,F - действительные числа Линии, которые в системе декартовых координат определяются алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. линиями 2го порядка. 28. Функции.

Определение способа задания.

Классификация функций.

Основные элементарные функции.

Функция - это зависимость одной величины от другой. Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x). Определение способа задания: -аналитически ( y=kx+b) - графический (график) -таблично

x 1 2 3
y 4 5 8
- алгоритмически (с помощью ЭВМ) Классификация функций: Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции: 1. y=x n - степенная 2. y=a x - показательная 3. y=log a x - логарифмическая 4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические.

Сложные: Y=f(U), где U= j (x), Y=f[ j (x)] Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U , который зависит от независимой переменной х, то y=f[ j (x)] называется сложным заданием х. 29. Определение пределов последовательности и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции 1ой переменной. а) Предел последовательности: y=f(Un), где U 1 ,U 2 ,...U n , а U n =n/(n 2 +1) Предел: число а называется пределом переменной x n , если для каждого “+” как угодно малого числа e (эпсилон) существует такой номер N , что при n>N разность |x n -a| e limx n =a n ® - e n -a e ae n e б) Предел ф-ции: y=f(x) число а называется пределом переменной х, если разность м/ду ними есть б.м.в. |x-a| ® 0, |x-a| e Число А называется пределом ф-ции f(x) при х ® а, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа e . - e >0 , найдется такое как угодно малое на период заданного d > 0, что будут выполняться неравенства: Если |x-a| d , то |f(x)-A| e Основные св-ва: 1.Если величина имеет предел, то только 1. 2. limC=C , где Спостоянная величина 3. Если a -б.м.в., то lim a =0 4. предела б.б.в. не существует 5. если limy=a , то y=a+ a , где a -б.м.в. 30. Основные теоремы о пределах. 1. Предел суммы = суммы пределов: limx=a, limy=b , тогда x=a+ a , y=b+ b , где a и b - б.м.в. x+y=( a+ a ) +(b+ b )=(a+b)+( a + b ) , где a + b = w - б.м.в. x ± y=(a ± b)+ w , то lim(x ± y)=a ± b=limx+limy. 2. Теорема о пределе производной: если сомножители имеют пределы, то и произведение имеет предел, равный произведению пределов сомножителей. limx=a, limy=b , то на основании 5го св-ва x=a+ a y=b+ b , где a и b - б.м.в. x*y=(a+ a )*(b+ b )=a*b+( a b+a b + a b ) , то сумма б.м.в. = d (дельта) xy=ab+ d xy ® ab, limxy=ab=limx*limy 3. Следствие: постоянная величина выноситься за знак предела. limCx=limC*limx=C*limx 4. Предел от частного = частному пределов (кроме limx/limy=0 limx/y=limx/limy , т.к. limx=a, limy=b x=a+ a , y=b+ b x/y=(a+ a )/(b+ b ) 31. 1й, 2й замечательный пределы. 1й: limsinx/x=1, limx/sinx=1. x ® 0 j lim((Sin a )/ a )=1 x ® 0 S D OAC сектора OAC D OCB S D OAC =1/2*OC*AD, OA=OC=1 , то S D OAC =1/2*OC*OA*Sin a =1/2*Sin a S сектора OAC =1/2*OA*OC* a =1/2* a ( т.к. OA=OC) S D OCB =1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tg a =1/2*tg a 1/2*Sin a a a //*2 sin a a a //:sin 1 a /sin a a , =>cos a a / a limCos a a )/ a ) по признаку a ® 0 a ® 0 существования предела ф-ции lim((Sin a )/ a )=1 a ® 0 2 ой: lim(1+1/n) n =e » 2.7183 n ® Зная, что 1/n= a - б.м.в., то n=1/ a и x ® a ® 0 lim(1+1/n) 1/ a =e a ® 0 32 . Основные приемы нахождения пределов. 1. Подстановка: при х ® х 0 и х 0 области определения ф-ции f(x) , предел ф-ции f(x)= его частному значению при х=х 0 limf(x)=f(x 0 ) x ® x 0 2. Сокращение: при х ® и х ® х 0 f(x)/g(x)=0/0 , то сокращают числитель и знаменатель на множитель, стремящийся к 0. 3. уничтожение иррациональности (* числитель и знаменатель на 1 число). 4.деление на наивысшую степень х: при х ® и х ® х 0 f(x)/g(x)=0/0, то делим числитель и знаменатель на наивысшую степень. 5. сведение к известным пределам: lim((Sinx)/x)=1 x ® lim(1+1/n) x =e x ® 33. Непрерывность ф-ции в точке и на интервале. x=x 0 + D x, D x=x-x 0 D y=f(x 0 + D x)-f(x 0 ) Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x 0 , если она определена в окрестности этой точки, а lim D y=0 . (б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции). lim D y=lim[f(x)-f(x 0 )]=limf(x)-limf(x 0 )=0 , то limf(x)=limf(x 0 ) x ® x 0 Ф-ция непрерывна в точке х 0 , если ее предел = значению этой ф-ции в точке х 0 Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке. 34. Признаки существования а) предела ф-ции и б) предела последовательности. а) если все значения ф-ции f(x) заключены между значениями ф-ции j (x) и g(x) , которые имеют 1 предел при х ® а, то и limf(x)=A j (x) , где lim j (x)=А, limg(x)=А , то limf(x)=A. х ® а б) Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел.

Последовательность монотонно возрастает, если последующий член > предыдущего ( x n+1 >x n ) Последовательность ограничена сверху, если существует такое М, что x n 35. Бесконечно малые величины и их св-ва: величина называется б.м.в. в каком-то процессе, если она в этом процессе бесконечно уменьщается.( r = m/V, если V ® , то r ® 0) Св-ва б.м.в.: -сумма или разность конечного числа б.м.в. есть б.м.в. ( a и b -б.м.в., то a ± b =б.м.в.) -произведение б.м.в. на величину ограниченную есть б.м.в. ( U то a *U= б.м.в.) -произведение б.м.величин=б.м.в. -произведение б.м.в. на постоянную = б.м.в 36. Бесконечно большие величины и их св-ва. б.б.в - величина для которой |X n | ® ( при x n =1/n, n ® 0, то x n ® ) Св-ва: -величина обратная б.б.в. явл. б.м.в. (1/ =0; 1/0= ) -сумма б.б.в. (с одинаковым знаком) есть б.б.в. -произведение 2х б.м.величин=б.м.в. -частное от деления 2х б.б.в = неопределенность 38 . Св-ва непрерывных ф-ций:в в отрезке: 1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)*f(b) , т.е. знаки f(a) и f(b) противоположны, то на (a,b) найдется хотя бы одна точка х=с, что f(c)=0 (график)-теорема Больцана-Коши. 2. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] , то она ограничена на этом промежутке. 3. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] , то она достигает на этом отрезке min m и max M ( теорема Вейерштрасса). в точке: 1. если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х 0 , то их сумма, произведение, частное (при j (х 0 ) ¹ 0) явл-ся ф-циями, непрерывными в х 0 2. если ф-ция y=f(x) непрерывна в х 0 , и f(x 0 )>0 , то существует окрестность х 0 , в которой f(x)>0 3. если y=f(U) непрерывна в U 0 , а U= j (x) непрерывна в U 0 = j (x 0 ) , то сложная ф-ция y=f[ j (x)] непрерывна в х 0 . 39. Задачи, приводящие к понятию производной.

Определение производной и ее геометрический смысл. 1. n cp. = D S/ D t, n =lim( D S/ D t) , где D t ® 0 2 . p cp. = D m/ D l, p T =lim( D m/ D l) , где D l ® 0 D y=f(x+ D x)-f(x), y=f(x) lim( D y/ D x)=lim((f(x+ D x)-f(x))/ D x) D x ® 0 D x ® 0 Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента. y=f(x+ D x)-f(x), y=f(x) . производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента: lim( D y/ D x)=lim((f(x+ D x)-f(x))/ D x)=dy/dx D x ® 0 D x ® 0 Вычисление производной: lim( D y/ D x)=y` D x ® 0 1) если y=x, D y= D x, y`=x=lim( D y/ D x)=1. 2) если y=x 2 , D y=(x+ D x) 2 -x 2 =x 2 +2x D x+ D x 2 -x 2 = D x(2xD x), (x 2 )`=lim(( D x(2x+ D x))/ D x)=lim(2x+ D x)=2x x ® 0 D x ® 0 Геометрический смысл производной. KN= D y, MK= D x D MNK/tg2= D y/ D x вычислим предел левой и правой части: limtg a =lim( D y/ D x) D x ® 0 tg a 0 =y` a ® a 0 При D x ® 0 секущая MN ® занять положение касательной в точке M ( tg a 0 =y`, a ® a 0 ) Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x 0 . 40 . Основные правила дифференцирования.

Теорема: Если f ( x ) и g ( x ) дифферен. в точке х, то: Теорема о произв. сложной функции: Если y ( x )= f ( u ( x )) и существует f ’( u ) и u ’( x ), то существует y ’( x )= f ( u ( x )) u ’( x ). Теорема о произв. обратной функции. Таблица производных: 41. Дифференцирование сложных ф-ций: Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной. y`=f(x)*U`, или y x `=y U `*U x `, или dy/dx=dy/dU=dU/dx Например: 42. Дифференцирование обратной ф-ции. y=f(x), то x= j (y) - обратная ф-ция. Для дифференцируемой ф-ции с производной, не = 0, производная обратной ф-ции = обратной величине производной данной ф-ции, т.е. x y `=1/y x ` . D y/ D x=1/( D y/ D x) - возьмем предел от левой и правой части, учитывая, что предел частного = частному пределов: lim( D y/ D x)=1/(lim( D y/ D x) , т.е. y x `=1/x y или f`(x)=1/ j `(x) Например: 43. Производные степенных и тригонометрических функций.

Основные формулы: 44. Производные обратных тригонометрических функций.

Основные формулы: Для сложных функций: 45 . Производные показательных и логарифмических функций.

Основные формулы: Если z = z ( x ) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид: 46. Логарифмическое дифференцирование. Вывод производной степенной ф-ции. y=a x - показательная ф-ция, y=x n - степенная, y=x x - показательно-степенная. y=[f(x)] j (x) - показательно-степенная ф-ция. lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х. (1/y)*y`=(lny) (x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1 y`=y*(lnx+1)=x x (lnx+1) Операция, которая заключается в последовательном применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование.

Степенная ф-ция: 1. y=x n , nlnx, y`/y=n/x=n*(x) -1 y`=y*n*(x -1 )=n*x n *x -1 =n*x n-1 2.y=e U , где U=sinx U`=cosx, y`=(e U )`=e U *U`=e sinx *cosx. 47. Производная высших порядков ф-ции 1й переменной. y=f(x) y``=(y`)`=lim((f`(x+ D x)-f`(x))/ D x) x ® 0 y```=(y``)`= lim((f``(x+ D x)-f``(x))/ D x) f (n) (x)=[f (n-1) (x)]` 48. Производные 1,2-го порядка неявных ф-ций.

Неявной называется такая ф-ция у аргумента х, если она задана уравнением F(x,y) =0, не разрешенным относительно независимой переменной. y=f(x), y=x 2 -1 - явные F(x,y)=0, a 2 =x 2 +y 2 - неявные ф-ции. 1)a 2 =x 2 +y 2 - найдем производную, продифференцируем, считая у - сложной ф-цией х. y`=2x+2y=0, т.к. апостоянная y*y`=-x, y`=-x/y 2) x 3 -3xy+y 3 =0 3x 3 -3(xy)`+3y 2 *y`=0 //:3 x 2 -(x`y+y`x)+y 2 *y`=0 y`y 2 -xy`=y-x 2 y`=(y-x 2 )/(y 2 -x) 49. Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала. limy=A, y=A+ a lim D y/ D x=y`, D y/ D x=y`+ a , D y=y` D x+ a D x D x ® 0 D y=y` D x+ e , где e -б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем D x( a ), и ее можно отбросить. dy=y` D x Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента D х и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем D х. Если y=x, то dy=dx=x` D x= D x, dx= D x Если y ¹ x , то dy=y`dx, y`=dy,dx Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x 0 ,f(x 0 )) при изменении x 0 на величину D x Св-ва: 1. ( U ± V)`=U` ± V` , то (U ± V)`dx=U`dx ± V`dx, d(U ± V)=d(U ± V) 2. (UV)`=U`V+V`U , то (UV)`dx=V`dU+U`dV 3.d(c)=c`dx=0*dx=0 4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V 2 . 50.Теорема Ролля. Если функция f ( x ) непрерывна на заданном промеж/ [ a , b ] деффер. на интервале ( a , b ) f ( a )= f ( b ) то существует т. с из интерв. ( a , b ), такая, что f ’( c )=0. 51 . Теорема Лагранжа. Если функция f ( x ) непрерывна на [ a , b ] и дефференцирована на ( a , b ), то сущест. т . с (a,b), такая , что : f(b)-f(a)=f’(c)(b-a). Доказательство: применим т.Коши, взяв только g ( x )= x , тогда g ’( x )=1 ¹ 0. 52. Теорема Коши. Если f ( x ), g ( x ) удовл. трем условиям: 1). f ( x ), g ( x ) непрерыв. на промеж [ a , b ] 2). f ( x ), g ( x ) деффер. на интервале ( a , b ) 3). g ’( x ) ¹ 0 на интер. ( a , b ), то сущ. т. с g ( b ) ¹ g ( a ) (неравны по теореме Ролля). 1). F ( x ) – непрерывна на [ a , b ] 2). F ( x ) – деффиренцирована на ( a , b ) 3). F(a)=0 ; F(b)=0 по теореме Ролля сущ. с ( a , b ); F ’(с)=0 53 . Необходимые и достаточные признаки монотонности ф-ции: Если x 2 >x 1 , f(x 2 )>f(x 1 ) , то ф-ция монотонно возрастает Если x 2 >x 1 , f(x 2 ) 1 ) , то ф-ция монотонно убывает Монотонность - постоянство Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее производная в этом интервале неотрицательна ( f`(x)>=0 ) 2) если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная ( f`(x) ) 3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 ( f`(x)=0 ) Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале. 2)если f`(x) , то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале. 3 )если f`(x)=0 , то ф-ция f(x)=const на интервале. x 1 2 , x 2 -x 1 >0, x 2 >x 1 1. если f`(a)>0 , то f(x 2 )>f(x 1 ) 2. если f`(a) , то f(x 2 ) 1 ) 3. если f`(a)=0 , то f(x 2 )=f(x 1 ) 54 . Экстремумы ф-ций.

Признаки существования экстремума.

Наибольшее и наименьшее значение ф-ции 1й переменной. Точка х называется точкой max ф-ции, если значение ф-ции в этой точке - наименьшее в некоторой ее окрестности. 1- локальный max 2- локальный min 3- глобальный max 4- глобальный min если tg a >0 , то f`(x)>0 если tg a , то f`(x) Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует. касательных). Достаточный признак: точка х 0 является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак: - если с “+” на “-”, то х 0 - т. max - если с “-” на “+”, то х 0 - т. min 55 . Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба. Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках. Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке. Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная 0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0 Достаточный признак: если f``( x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0 , то линия вогнутая Признаки точки перегиба: чтобы X 0 была т. перегиба, чтобы у `` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х 0 . 56. Асимптота графика ф-ции.

Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает. 1) прямая х=х 0 назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y , если при х ® х 0 |f(x)| ® + ( вида x=b) 2) y=kx+b , , y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+ a (б.м.в.) по св-ву x ® пределов. разделим левую и правую части на х.

Возьмем предел при х ® f(x)/x=k+b/x+ a /x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim( a /x) x ® , то k=lim(f(x)/x) b=lim[f(x)-kx] Если эти пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx+b=y 3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота. 57. Предел и непрерывность ф-ции нескольких переменных.

Величина U наз-ся ф-цией переменных ( x 1 ,x 2 ...x n ) , если каждой, рассматриваемой в совокупности этих величин соотв-ет 1 определенное значение величины U. Пусть f(M)=M 0 (x 1 0 , x 2 0 ,... x n 0 ), M(x 1 , x 2 ,... x n ) Ф-ция f(M)=f(x 1 , x 2 ,... x n ) имеет предел А при М 0 ® М, если каждому значению как угодно малого числа d (дельта) соотв-ет, как угодно малое заданное число e >0 , если |M 0 M|= d , то |f(M)-A| e Ф-ция f(M) наз-ся непрерывной в точке М 0 , если б.м. приращению любого аргумента соответствует б.м. приращение ф-ции. limf(x 1 0 , x 2 0 ,... x n 0 )=limf(x 1 , x 2 ,... x n ) x 1 0 ® x 1 x 2 0 ® x 2 x n 0 ® x n 58. а) Частная производная ф-ции нескольких переменных. б) Частный и полный дифференциалы. а) рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных x=f(x,y), точка A(x 0 ,y 0 ) D z=f(x 0 + D x, y 0 + D y)-f(x 0 ,y 0 ) - полное приращение.

Частное приращение по х (по у): D xZ=f(x 0 + D x, y)-f(x 0 , y 0 ) D yZ=f(y 0 + D y, x)-f(x 0 , y 0 ) Частная производная ф-ция: dxZ=Z x `* D x= ¶ Z/ ¶ x*dx; dxZ=Z y `* D y= ¶ Z/ ¶ y*dy Полный дифференциал dZ=d x Z+d y Z=Z` x dx +Z` y dy dZ= ¶ Z/ ¶ x*dx+= ¶ Z/ ¶ y*dy Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить. 59. Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных.

Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных.

Частное производной 2го порядка от ф-ции Z явл. частная производная от 1й производной: Z`` XX =(Z` x )` x ; Z`` yy =(Z` y )` y Z`` Xy =(Z` x )` y =(Z` y )` x 60 . Экстремумы ф-ции нескольких переменных.

Таможенное право

Медицина

Литература, Лингвистика

Технология

Физика

Культурология

История

Уголовное право

Разное

Философия

Экскурсии и туризм

Маркетинг, товароведение, реклама

Программирование, Базы данных

Бухгалтерский учет

Микроэкономика, экономика предприятия, предпринимательство

Охрана природы, Экология, Природопользование

Политология, Политистория

Право

География, Экономическая география

Физкультура и Спорт

Педагогика

Историческая личность

Иностранные языки

Экономическая теория, политэкономия, макроэкономика

Правоохранительные органы

Материаловедение

Юридическая психология

Религия

Муниципальное право России

Ценные бумаги

Биология

Геология

Трудовое право

Радиоэлектроника

Социология

Транспорт

Психология, Общение, Человек

Программное обеспечение

Компьютеры и периферийные устройства

Международные экономические и валютно-кредитные отношения

Математика

Искусство

Металлургия

Техника

Менеджмент (Теория управления и организации)

Сельское хозяйство

Теория государства и права

Военная кафедра

Ветеринария

Теория систем управления

Банковское дело и кредитование

Международное частное право

Государственное регулирование, Таможня, Налоги

Химия

История экономических учений

Компьютерные сети

Здоровье

Налоговое право

Финансовое право

Биржевое дело

Музыка

Астрономия

Экологическое право

Римское право

История политических и правовых учений

Криминалистика и криминология

Семейное право

Административное право

Экономико-математическое моделирование

Пищевые продукты

Жилищное право

Подобные работы

Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ

echo "Возьмем ' e >0 $ d завис от e такое что d ( e )>0 такое что ' х, 0 x - a / d => / f ( x )- A / e => / j ( x )/=/ f ( x )- A / e таким образом j ( x ) – бмф при х ® а пусть f ( x )= j ( x )+ A гд

Золотое сечение

echo "Практическое применение……………….. Литература……………………………………………………….. 2 3-4 5-7 8 9 10-12 13-15 16-17 18 19 19 1.Введение. Пропорция золотого сечения. Ф и . 'Геометрия обладает двумя великими

Поверхности второго порядка

echo "Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением поверхности второго порядка. Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декар

Сравнения высших степеней(Конгруенції вищих степенів )

echo "Невизначені рівняння 1-го степеня почали розглядатися ще індуськими математиками приблизно з V століття. Деякі такі рівняння з двома і трьома невідомими з'явилися в зв'язку з проблемами, що вини

Кватернионы

echo "Выбираем две оси и начало отсчета. Для каждой точки плоскости сопоставляем ее координаты (x; y). Эта пара будет называться дуплетом. Чтобы сделать дуплет числом, нужно научиться “складывать” и “

Высшая математика (шпаргалка)

echo "Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х= {X 1 ,X 2 ,...X n } вектор дан в n -мерном пространстве. Т( X 1 ,X 2 ,X 3 ). n =1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| -

Отношение сознания к материи: математика и объективная реальность

echo "Содержание 1. Введение ................................................................................................................ 3 2. Экскурс в историю ...................................

Пифагор

echo "Приблизительно в 530 году Пифагор наконец возвратился в Грецию и вскоре переселился в Южную Италию, в г. Кротон. В Кротоне он основал пифагорейский союз, который был одновременно философской шк