Теория устойчивости

Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.

Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики.

Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский. 1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.

Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений

x’ = f ( t , x )

Комментарии к задаче Коши (1), (2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x’= f ( t , x ) с начальным условием x ( t 0 ) = x 0 . С целью упрощения все рисунки п. 1 0 ,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.

x 0 t Рис.1

Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных. Определим понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклоение решения x ( t ) = x ( t ; t 0 , x 0 ) , вызванное отклонением D x 0 начального значения x 0 , будем записывать следующим образом: | x ( t ; t 0 , x 0 + D x 0 ) - x ( t ) | = | x ( t ; t 0 , x 0 + D x 0 ) - x ( t ; t 0 , x 0 ) |. Определение 1. Решение x ( t ) = x ( t ; t 0 , x 0 ) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если оно непрерывно по x 0 на интервале I = = [ t 0 , + [ , т.е. ' e > 0 $ d > 0 такое, что ' D x 0 | D x 0 | d | x ( t ; t 0 , x 0 + D x 0 ) - x ( t ) | e ' t ³ t 0 . Если, кроме того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю при t ® + для достаточно малых D x 0 , т.е. $ D > 0 ' D x 0 . | D x 0 | D | x ( t ; t 0 , x 0 + D x 0 ) - x ( t ) | ® 0 , t ® + . (3) то решение x ( t ) системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым). Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении. Комментарий к определению 1. 1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение х ( t ) можно интерпритировать следующим образом ( рис.1 ) : все решения x ( t ; t 0 , x 0 + D x 0 ) , близкие в начальный момент t 0 к решению x ( t ) (т.е. начинающиеся в пределах d - трубки ) , не выходят за пределы e - трубки при всех значениях t ³ t 0 .

x 0 t Рис.2

Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении. Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный момент t 0 к решению х ( t ) , найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t 1 ( свой для каждого такого решения) выйдет за пределы e - трубки (рис.3). Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1. Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол a ; тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению, - это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он снова займет положение I - это модель асимптотически устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II - это модель не устойчивого положения равновесия. x 0 t Рис.3 Рис.4 Исследование устойчивости произвольного решения x ( t ) системы (1) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой преобразованной системы.

Действительно, в системе (1) произведем подстановку y ( t ) = x - x (t). Тогда получим систему y’ = F ( t, y ). (4) где F ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) - f ( t , x ( t ) ) , F (t, 0) 0 ' t ³ t 0 . Решению x ( t ) системы (1) соответствует нулевое решение y (t) 0 системы (4). В дальнейшем будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение, т.е. f ( t , 0 ) = 0 ' t ³ t 0 , и ограгничимся исследованием устойчивости нулевого решения.

Переформулируем определения различных типов устойчивости для нулевого решения x ( t ) 0 системы (1). Определение 3. Нулевое решение x ( t ) 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если ' e > 0 $ d = d ( e ) > 0 такое, что ' x 0 | D x 0 | d | x ( t ; t 0 , x 0 ) | e ' t ³ t 0 . Если кроме того, $ D > 0 ' x 0 | D x 0 | D | x ( t ; t 0 , x 0 ) | ® 0 , t ® + , то решение x ( t ) 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении ( или асимптотически устойчивым ) . Определение 4. Нулевое решение x ( t ) 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчиво), если оно не является устойчивым в положительном направлении, т.е. $ e > 0 $ t 1 > t 0 ' d > 0 x 0 ¹ 0 | x 0 | d | x ( t ; t 0 , x 0 ) | > e . Геометрическая интерпритация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения x ( t ) 0 системы (1) дана соответственно на рис.5-7.

x t 0 Рис.5

x t 0 Рис.6

x t 0 Рис.7

Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.

Нормальную автономную систему n - го порядка можно записать в векторной форме : dx / dt = f ( x ). (5) Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Пусть x = x ( t ) - есть решение системы (5). Направленная кривая g , которую можно параметрически задать в виде x i = x i ( t ) ( i = 1, ... , n ), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x = x ( t ). Пространство R n с координатами ( x 1 , ... , x n ), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы (5) можно параметрически задать в виде t = t , x 1 = x 1 ( t ), ... , x n = x n ( t ). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству R n+1 с координатами ( t , x 1 , x 2 , ... , x n ) , а траектория является проекцией интегральной кривой на пространство R n параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n = 2 , т.е. когда R n+1 - трехмерное пространство, а фазовое пространство R n - двумерная плоскость. На рис.8,а изображена интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t = t, x 1 = x 1 ( t ) , x 2 = x 2 ( t ), на рис.8,б - ее проекция на плоскость, т.е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x 1 = x 1 ( t ) , x 2 = x 2 ( t ). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.

x 2 x 2 0 t 0 x 1 x 1 а) Рис.8 б)

Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x ( t ) 0 , т.е. f ( 0 ) = 0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства R n . В пространстве R n+1 точке покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис.8 для случая n = 2. Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот. Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т.е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис.5-7 в двумерном случае на фазовую плоскость R 2 , причем проекциями e - трубки и d - трубки являются окружности с радиусами e и d . Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в пределах d - окружности, не покидают e - окружность ' t ³ t 0 (рис.9) ; асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяжения D , стремятся к началу (рис.10) ; неустойчиво, если для любой e - окружности и всех d > 0 существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис.11). Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид dx / dt = A x, (6) где A - постоянная матрица размера n n , является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.

x 2 0 x 1 Рис.9

x 2 0 x 1 Рис.10

x 2 0 x 1 Рис.11