Высшая математика (шпаргалка)

Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х= {X 1 ,X 2 ,...X n } вектор дан в n -мерном пространстве. Т( X 1 ,X 2 ,X 3 ). n =1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или || -ных прямых.

Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||- ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну. 1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А || В. б) l >0, то А В, l то А В . в) l >1, то А В , ) l то А > В . 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n : а /n=a*(1/n) . 3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c , который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а. 2.3. Декартова прямоугольная система координат. Базис.

Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней. Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов. Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве. ОС =OA+OB, OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj. Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе 4. Действия над векторами. а =х 1 i +y 1 j+z 1 k; b =х 2 i +y 2 j+z 2 k l *a= l ( х 1 i +y 1 j+z 1 k)= l ( х 1 )i+ l (y 1 )j+ l (z1)k a ± b =(x 1 ± x 2 )i+(y 1 ± y 2 )j+(z 1 ± z 2 )k ab =x 1 x 2 ii+y 1 x 2 ij+x 2 z 1 ki+x 1 y 2 ij+y 1 y 2 jj+ z 1 y 2 kj+x 1 z 1 ik+y 1 z 2 jk+z 1 z 2 kk=x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ii =1; ij=0; и т.д. скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов. аа = x 2 +y 2 +z 2 =|a| 2 a{x,y,z}, aa=|a|*|a| , то a 2 =|a| 2 ab =|a|*|b|*cos j а)ав=0, а ^ в , x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 =0 б)а|| в - коллинеарны, если , x 1 /x 2 =y 1 /y 2 =z 1 /z 2 5. Скалярное произведение векторов и его свойства. -(“ skala ” - шкала) 2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. (а,в)- скалярное произведение. а*в= | а |*|в|*cos j , j = p /2, cos p /2=0, a ^ b=>ab=0. Равенство “0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие их перпендикулярности (ортогональности). 6. Векторное произведение 2х векторов. левая ----- правая Тройка векторов а,в,с наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки. Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки - левая.

Векторным произведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с, который удовлетворяет условиям: 1. |c|=|a|*|b|*sin j . 2. c ^ a и c ^ b . 3. тройка а,в,с-правая. 7. Смешанное произведение векторов и его свойства.

Смешанным произведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом: a *b*c=[a*b]*c=a*[b*c] , где a ={a x ,a y ,a z } b ={b x ,b y ,b z } c ={c x ,c y ,c z } Св-ва: 1. При перестановке 2х сомножителей: a *b*c=-b*c*a 2. не меняется при перестановке циклических сомножителей: a *b*c=c*a*b=b*c*a 3.а)(Геометрич. смысл) необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство a *b*c=0 б)если некомпланарные вектора a ,b,c привести к 1 началу, то |a*b*c|=V параллепипеда, построенного на этих векторах если a*b*c>0, то тройка a,b,c - правая если a*b*c 8. Уравнение линии и поверхности. 1. Уравнение сферы.

Сферагеометрическое место точек, равноудаленных от 1ой точки, называемой центром. O(a,b,c) |OM|=r, OM={x-a,y-b,z-c} r 2 =(x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 - уравнение сферы. x 2 +y 2 +z 2 =r 2 - ур-е сферы с центром точке(0,0). F ( x,y,z)=0- ур-е поверхности - ур-ю, удовлетворяющему координатам x,y,z любой точки, лежащей на поверхности. 2. Уравнение окружности |OM|=r, OM={x-a,y-b) r 2 =(x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 - ур-е окружности а= b =0, то x 2 +y 2 =r 2 F(x,y)=0- ур-е линии на плоскости. 9. Плоскость в пространстве. Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору. N - вектор нормали M 0 M {x-x 0 ,y-y 0 ,z-z 0 } Для того, чтобы точка M P, необходимо и достаточно чтобы вектора N ^ M 0 M (т.е. N*M 0 M=0) A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+С(z-z 0 )=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку ^ вектору. 10. Общее уравнение плоскости. Ax+By+Сz-Ax 0 -By 0 -Сz 0 =0 -Ax 0 -By 0 -Сz 0 =D, где D=Ax+By+Сz Ax+By+Сz+D=0 Частный случай: Если D=0 , то Ax+By+Сz=0( проходит ч/з 0;0) Если A=0 , то By+Сz+D=0 Если B=0 , то Ax +Сz+D=0 Если C=0 , то Ax+By+D=0 Если A=B=0 , то Сz+D=0 Если A=C=0 , то By+D=0 Если A=D=0 , то By+Сz=0 Если B=D=0 , то Ay+Сz=0 11 . Взаимное расположение плоскостей. N 1 ,N 2 -нормальные векторы плоскости. P:A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 Q:A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 P ^ Q{A 1 ,B 1 ,C 1 } Q ^ N 2 {A 2 ,B 2 ,C 2 } 1)Пусть P ^ Q N 1 ^ N 2 A 1 A 2 +B 1 B 2 +C 1 C 2 =0 условие перпендикулярности P ^ Q. 2) Пусть P ^ Q N 1 ^ N 2 A 1 /A 2 =B 1 /B 2 =C 1 /C 2 - Условие параллельности 2х плоскостей. A 1 /A 2 =B 1 /B 2 =C 1 /C 2 =D 1 /D 2 - Условие совпадения 2х плоскостей. 12. Каноническое уравнение прямой в пространстве. M 0 M {x-x 0 ,y-y 0 ,z-z 0 } Чтобы точка М прямой(или лежала на ней) необх. и достаточно, чтобы M 0 M ||S 13 . Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки. l m n S {x 2 -x 1 ,y 2 -y 1 ,z 2 -z 1 } 14 . прямая, как пересечение плоскостей.

Нахождение начальной точки и направляющего вектора прямой. P:A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 Q:A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 Общее ур-е прямой в пространстве. Для того, чтобы перейти от общего к каноническому ур-ю прямой, надо задать начальную точку и направляющий вектор: 1. Найдем начальную точку: Z=0 M 0 (x 0 ,y 0 ,0) , т.к. Z=0 2. Найдем направляющий вектор S -? P ^ N 1 {A 1 ,B 1 ,C 1 } Q ^ N 1 {A 2 ,B 2 ,C 2 } S =N 1 *N 2 16. Взаимное расположение прямой на плоскости. P:A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 ^ N 1 {A 1 ,B 1 } Q:A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 ^ N 2 {A 2 ,B 2 } а ) то б) q N 1 ||N 2 , то A 1 /A 2 =B 1 /B 2 в) N 1 ^ N 2 , то A 1 A 2 +B 1 B 2 =0 17. Общее ур-е прямой линии на плоскости. Его частные случаи.

Сначала запишем ур-е прямой, проходящей через заданную точку ^ заданному вектору. M 0 (x 0 ,y 0 ) M 0 M {x-x 0 ,y-y 0 } n*M 0 M=0 A(x-x 0 )+B(y-y 0 )=0 Ax+By-Ax 0 -By 0 =0 -Ax 0 -By 0 =C Ax+By+C=0- общее уравнение прямой на плоскости. 18.19. Каноническое ур-е прямой линии на плоскости. Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 точки. Ур-е с угловым коэффициентом. y-y 1 =k 1 (x-x 1 ) y=k 1 x-k 1 x 1 +y 1 y 1 -k 1 x 1 =b y=k 1 x+b ур-е прямой с угловым коэффициентом k . Пусть даны 2 точки M 1 (x 1 ,y 1 ), M 2 (x 2 ,y 2 ) и x 1 ¹ x 2 , y 1 ¹ y 2 . Для составления уравнения прямой М 1 М 2 запишем уравнения пучка прямых, проходящих через точку М 1 : y-y 1 =k(x-x 1 ). Т.к. М 2 лежит на данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки М 2 в уравнение пучка М 1 : y-y 1 =k(x-x 1 ) и найдем k: Теперь вид искомой прямой имеет вид: - Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 20 ,21. Угол м/ду прямыми на плоскости.

Условия || и ^ . а) S 1 {l 1 ,m 1 } S 2 {l 2 ,m 2 }, или p:y=k 1 x+b 1 , k 1 =tg j 1 q:y=k 2 x+b 2 , k 2 =tg j 2 =>tg j =tg( j 2 - j 1 )= =(tg j 2 -tg j 1 )/(1+ tg j 1 tg j 2 )= =(k 2 -k 1 )/(1+k 1 k 2 ). б) p||q, tg j =0, k 1 =k 2 в) p ^ q, то 22 . Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве. 1. Ax+By+C=0, M 0 (x 0 ,y 0 ) 2 . Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0 23 . Кривые линии 2-го порядка.

Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я: Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0 , где а) Каноническое ур-е эллипса - Каноническое ур-е эллипса Если a=b, то x 2 +b 2 =a 2 - ур-е окружности. б) Ур-е гиперболы: x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =1 в) ур-е параболы: y 2 =2px или y=ax 2 г) ур-е сферы: x 2 +y 2 +z 2 =а 2 ( r 2 =(x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 ) д) ур-е эллипса: x 2 /a 2 -y 2 /b 2 +z 2 /c 2 =1 24. Парабола и ее свойства.

Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax 2 , где х и у - текущие координаты, анек. число, наз. параболой. Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид y 2 =2pxсимметрично отн. оси ОХ х 2 =2pусимметрично отн. оси ОУ Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса. Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2 Св-ва: 1. парабола предст. собой точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax 2 . 25.Эллипс и его св-ва: Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки А x 2 +Cy 2 = d ур.-е наз. канонич. ур.-ем эллипса, где При а=в представляет собой ур-е окружности х 2 + y 2 =а 2 Точки F 1 (-c,0) и F 2 (c,0) - наз. фокусами эллипса а.

Отношение e =с/а наз. его эксцентриситетом ( 0 e Точки A 1 ,A 2 ,B 1 ,B 2 - вершины эллипса. Св-во: Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а. 26. Гипербола и ее св-ва.

Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax 2 +Cy 2 = d , коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С 0 б) Если d >0 , то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =1, F1(c,o) и F 2 (-c,0) - фокусы ее, e >0, e =c/a - эксцентриситет. Св-во: для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а. б) если d =0, ур-е примет вид x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0, получаем 2 перекрестные прямые х/а ± у/ b=0 в) если d 2 /a 2 -y 2 /b 2 =-1 - ур-е сопряженной гиперболы. 27. Понятие о поверхностях 2го порядка.

Алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. ур-е вида Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+ e y+F=0 , где A,B,C,D, e ,F - действительные числа Линии, которые в системе декартовых координат определяются алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. линиями 2го порядка. 28. Функции.

Определение способа задания.

Классификация функций.

Основные элементарные функции.

Функция - это зависимость одной величины от другой. Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x). Определение способа задания: -аналитически ( y=kx+b) - графический (график) -таблично

Сложные: Y=f(U), где U= j (x), Y=f[ j (x)] Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U , который зависит от независимой переменной х, то y=f[ j (x)] называется сложным заданием х. 29. Определение пределов последовательности и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции 1ой переменной. а) Предел последовательности: y=f(Un), где U 1 ,U 2 ,...U n , а U n =n/(n 2 +1) Предел: число а называется пределом переменной x n , если для каждого “+” как угодно малого числа e (эпсилон) существует такой номер N , что при n>N разность |x n -a| e limx n =a n ® - e n -a e ae n e б) Предел ф-ции: y=f(x) число а называется пределом переменной х, если разность м/ду ними есть б.м.в. |x-a| ® 0, |x-a| e Число А называется пределом ф-ции f(x) при х ® а, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа e . - e >0 , найдется такое как угодно малое на период заданного d > 0, что будут выполняться неравенства: Если |x-a| d , то |f(x)-A| e Основные св-ва: 1.Если величина имеет предел, то только 1. 2. limC=C , где Спостоянная величина 3. Если a -б.м.в., то lim a =0 4. предела б.б.в. не существует 5. если limy=a , то y=a+ a , где a -б.м.в. 30. Основные теоремы о пределах. 1. Предел суммы = суммы пределов: limx=a, limy=b , тогда x=a+ a , y=b+ b , где a и b - б.м.в. x+y=( a+ a ) +(b+ b )=(a+b)+( a + b ) , где a + b = w - б.м.в. x ± y=(a ± b)+ w , то lim(x ± y)=a ± b=limx+limy. 2. Теорема о пределе производной: если сомножители имеют пределы, то и произведение имеет предел, равный произведению пределов сомножителей. limx=a, limy=b , то на основании 5го св-ва x=a+ a y=b+ b , где a и b - б.м.в. x*y=(a+ a )*(b+ b )=a*b+( a b+a b + a b ) , то сумма б.м.в. = d (дельта) xy=ab+ d xy ® ab, limxy=ab=limx*limy 3. Следствие: постоянная величина выноситься за знак предела. limCx=limC*limx=C*limx 4. Предел от частного = частному пределов (кроме limx/limy=0 limx/y=limx/limy , т.к. limx=a, limy=b x=a+ a , y=b+ b x/y=(a+ a )/(b+ b ) 31. 1й, 2й замечательный пределы. 1й: limsinx/x=1, limx/sinx=1. x ® 0 j lim((Sin a )/ a )=1 x ® 0 S D OAC сектора OAC D OCB S D OAC =1/2*OC*AD, OA=OC=1 , то S D OAC =1/2*OC*OA*Sin a =1/2*Sin a S сектора OAC =1/2*OA*OC* a =1/2* a ( т.к. OA=OC) S D OCB =1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tg a =1/2*tg a 1/2*Sin a a a //*2 sin a a a //:sin 1 a /sin a a , =>cos a a / a limCos a a )/ a ) по признаку a ® 0 a ® 0 существования предела ф-ции lim((Sin a )/ a )=1 a ® 0 2 ой: lim(1+1/n) n =e » 2.7183 n ® Зная, что 1/n= a - б.м.в., то n=1/ a и x ® a ® 0 lim(1+1/n) 1/ a =e a ® 0 32 . Основные приемы нахождения пределов. 1. Подстановка: при х ® х 0 и х 0 области определения ф-ции f(x) , предел ф-ции f(x)= его частному значению при х=х 0 limf(x)=f(x 0 ) x ® x 0 2. Сокращение: при х ® и х ® х 0 f(x)/g(x)=0/0 , то сокращают числитель и знаменатель на множитель, стремящийся к 0. 3. уничтожение иррациональности (* числитель и знаменатель на 1 число). 4.деление на наивысшую степень х: при х ® и х ® х 0 f(x)/g(x)=0/0, то делим числитель и знаменатель на наивысшую степень. 5. сведение к известным пределам: lim((Sinx)/x)=1 x ® lim(1+1/n) x =e x ® 33. Непрерывность ф-ции в точке и на интервале. x=x 0 + D x, D x=x-x 0 D y=f(x 0 + D x)-f(x 0 ) Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x 0 , если она определена в окрестности этой точки, а lim D y=0 . (б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции). lim D y=lim[f(x)-f(x 0 )]=limf(x)-limf(x 0 )=0 , то limf(x)=limf(x 0 ) x ® x 0 Ф-ция непрерывна в точке х 0 , если ее предел = значению этой ф-ции в точке х 0 Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке. 34. Признаки существования а) предела ф-ции и б) предела последовательности. а) если все значения ф-ции f(x) заключены между значениями ф-ции j (x) и g(x) , которые имеют 1 предел при х ® а, то и limf(x)=A j (x) , где lim j (x)=А, limg(x)=А , то limf(x)=A. х ® а б) Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел.

Последовательность монотонно возрастает, если последующий член > предыдущего ( x n+1 >x n ) Последовательность ограничена сверху, если существует такое М, что x n 35. Бесконечно малые величины и их св-ва: величина называется б.м.в. в каком-то процессе, если она в этом процессе бесконечно уменьщается.( r = m/V, если V ® , то r ® 0) Св-ва б.м.в.: -сумма или разность конечного числа б.м.в. есть б.м.в. ( a и b -б.м.в., то a ± b =б.м.в.) -произведение б.м.в. на величину ограниченную есть б.м.в. ( U то a *U= б.м.в.) -произведение б.м.величин=б.м.в. -произведение б.м.в. на постоянную = б.м.в 36. Бесконечно большие величины и их св-ва. б.б.в - величина для которой |X n | ® ( при x n =1/n, n ® 0, то x n ® ) Св-ва: -величина обратная б.б.в. явл. б.м.в. (1/ =0; 1/0= ) -сумма б.б.в. (с одинаковым знаком) есть б.б.в. -произведение 2х б.м.величин=б.м.в. -частное от деления 2х б.б.в = неопределенность 38 . Св-ва непрерывных ф-ций:в в отрезке: 1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)*f(b) , т.е. знаки f(a) и f(b) противоположны, то на (a,b) найдется хотя бы одна точка х=с, что f(c)=0 (график)-теорема Больцана-Коши. 2. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] , то она ограничена на этом промежутке. 3. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] , то она достигает на этом отрезке min m и max M ( теорема Вейерштрасса). в точке: 1. если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х 0 , то их сумма, произведение, частное (при j (х 0 ) ¹ 0) явл-ся ф-циями, непрерывными в х 0 2. если ф-ция y=f(x) непрерывна в х 0 , и f(x 0 )>0 , то существует окрестность х 0 , в которой f(x)>0 3. если y=f(U) непрерывна в U 0 , а U= j (x) непрерывна в U 0 = j (x 0 ) , то сложная ф-ция y=f[ j (x)] непрерывна в х 0 . 39. Задачи, приводящие к понятию производной.

Определение производной и ее геометрический смысл. 1. n cp. = D S/ D t, n =lim( D S/ D t) , где D t ® 0 2 . p cp. = D m/ D l, p T =lim( D m/ D l) , где D l ® 0 D y=f(x+ D x)-f(x), y=f(x) lim( D y/ D x)=lim((f(x+ D x)-f(x))/ D x) D x ® 0 D x ® 0 Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента. y=f(x+ D x)-f(x), y=f(x) . производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента: lim( D y/ D x)=lim((f(x+ D x)-f(x))/ D x)=dy/dx D x ® 0 D x ® 0 Вычисление производной: lim( D y/ D x)=y` D x ® 0 1) если y=x, D y= D x, y`=x=lim( D y/ D x)=1. 2) если y=x 2 , D y=(x+ D x) 2 -x 2 =x 2 +2x D x+ D x 2 -x 2 = D x(2xD x), (x 2 )`=lim(( D x(2x+ D x))/ D x)=lim(2x+ D x)=2x x ® 0 D x ® 0 Геометрический смысл производной. KN= D y, MK= D x D MNK/tg2= D y/ D x вычислим предел левой и правой части: limtg a =lim( D y/ D x) D x ® 0 tg a 0 =y` a ® a 0 При D x ® 0 секущая MN ® занять положение касательной в точке M ( tg a 0 =y`, a ® a 0 ) Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x 0 . 40 . Основные правила дифференцирования.

Теорема: Если f ( x ) и g ( x ) дифферен. в точке х, то: Теорема о произв. сложной функции: Если y ( x )= f ( u ( x )) и существует f ’( u ) и u ’( x ), то существует y ’( x )= f ( u ( x )) u ’( x ). Теорема о произв. обратной функции. Таблица производных: 41. Дифференцирование сложных ф-ций: Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной. y`=f(x)*U`, или y x `=y U `*U x `, или dy/dx=dy/dU=dU/dx Например: 42. Дифференцирование обратной ф-ции. y=f(x), то x= j (y) - обратная ф-ция. Для дифференцируемой ф-ции с производной, не = 0, производная обратной ф-ции = обратной величине производной данной ф-ции, т.е. x y `=1/y x ` . D y/ D x=1/( D y/ D x) - возьмем предел от левой и правой части, учитывая, что предел частного = частному пределов: lim( D y/ D x)=1/(lim( D y/ D x) , т.е. y x `=1/x y или f`(x)=1/ j `(x) Например: 43. Производные степенных и тригонометрических функций.

Основные формулы: 44. Производные обратных тригонометрических функций.

Основные формулы: Для сложных функций: 45 . Производные показательных и логарифмических функций.

Основные формулы: Если z = z ( x ) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид: 46. Логарифмическое дифференцирование. Вывод производной степенной ф-ции. y=a x - показательная ф-ция, y=x n - степенная, y=x x - показательно-степенная. y=[f(x)] j (x) - показательно-степенная ф-ция. lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х. (1/y)*y`=(lny) (x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1 y`=y*(lnx+1)=x x (lnx+1) Операция, которая заключается в последовательном применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование.

Степенная ф-ция: 1. y=x n , nlnx, y`/y=n/x=n*(x) -1 y`=y*n*(x -1 )=n*x n *x -1 =n*x n-1 2.y=e U , где U=sinx U`=cosx, y`=(e U )`=e U *U`=e sinx *cosx. 47. Производная высших порядков ф-ции 1й переменной. y=f(x) y``=(y`)`=lim((f`(x+ D x)-f`(x))/ D x) x ® 0 y```=(y``)`= lim((f``(x+ D x)-f``(x))/ D x) f (n) (x)=[f (n-1) (x)]` 48. Производные 1,2-го порядка неявных ф-ций.

Неявной называется такая ф-ция у аргумента х, если она задана уравнением F(x,y) =0, не разрешенным относительно независимой переменной. y=f(x), y=x 2 -1 - явные F(x,y)=0, a 2 =x 2 +y 2 - неявные ф-ции. 1)a 2 =x 2 +y 2 - найдем производную, продифференцируем, считая у - сложной ф-цией х. y`=2x+2y=0, т.к. апостоянная y*y`=-x, y`=-x/y 2) x 3 -3xy+y 3 =0 3x 3 -3(xy)`+3y 2 *y`=0 //:3 x 2 -(x`y+y`x)+y 2 *y`=0 y`y 2 -xy`=y-x 2 y`=(y-x 2 )/(y 2 -x) 49. Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала. limy=A, y=A+ a lim D y/ D x=y`, D y/ D x=y`+ a , D y=y` D x+ a D x D x ® 0 D y=y` D x+ e , где e -б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем D x( a ), и ее можно отбросить. dy=y` D x Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента D х и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем D х. Если y=x, то dy=dx=x` D x= D x, dx= D x Если y ¹ x , то dy=y`dx, y`=dy,dx Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x 0 ,f(x 0 )) при изменении x 0 на величину D x Св-ва: 1. ( U ± V)`=U` ± V` , то (U ± V)`dx=U`dx ± V`dx, d(U ± V)=d(U ± V) 2. (UV)`=U`V+V`U , то (UV)`dx=V`dU+U`dV 3.d(c)=c`dx=0*dx=0 4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V 2 . 50.Теорема Ролля. Если функция f ( x ) непрерывна на заданном промеж/ [ a , b ] деффер. на интервале ( a , b ) f ( a )= f ( b ) то существует т. с из интерв. ( a , b ), такая, что f ’( c )=0. 51 . Теорема Лагранжа. Если функция f ( x ) непрерывна на [ a , b ] и дефференцирована на ( a , b ), то сущест. т . с (a,b), такая , что : f(b)-f(a)=f’(c)(b-a). Доказательство: применим т.Коши, взяв только g ( x )= x , тогда g ’( x )=1 ¹ 0. 52. Теорема Коши. Если f ( x ), g ( x ) удовл. трем условиям: 1). f ( x ), g ( x ) непрерыв. на промеж [ a , b ] 2). f ( x ), g ( x ) деффер. на интервале ( a , b ) 3). g ’( x ) ¹ 0 на интер. ( a , b ), то сущ. т. с g ( b ) ¹ g ( a ) (неравны по теореме Ролля). 1). F ( x ) – непрерывна на [ a , b ] 2). F ( x ) – деффиренцирована на ( a , b ) 3). F(a)=0 ; F(b)=0 по теореме Ролля сущ. с ( a , b ); F ’(с)=0 53 . Необходимые и достаточные признаки монотонности ф-ции: Если x 2 >x 1 , f(x 2 )>f(x 1 ) , то ф-ция монотонно возрастает Если x 2 >x 1 , f(x 2 ) 1 ) , то ф-ция монотонно убывает Монотонность - постоянство Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее производная в этом интервале неотрицательна ( f`(x)>=0 ) 2) если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная ( f`(x) ) 3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 ( f`(x)=0 ) Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале. 2)если f`(x) , то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале. 3 )если f`(x)=0 , то ф-ция f(x)=const на интервале. x 1 2 , x 2 -x 1 >0, x 2 >x 1 1. если f`(a)>0 , то f(x 2 )>f(x 1 ) 2. если f`(a) , то f(x 2 ) 1 ) 3. если f`(a)=0 , то f(x 2 )=f(x 1 ) 54 . Экстремумы ф-ций.

Признаки существования экстремума.

Наибольшее и наименьшее значение ф-ции 1й переменной. Точка х называется точкой max ф-ции, если значение ф-ции в этой точке - наименьшее в некоторой ее окрестности. 1- локальный max 2- локальный min 3- глобальный max 4- глобальный min если tg a >0 , то f`(x)>0 если tg a , то f`(x) Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует. касательных). Достаточный признак: точка х 0 является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак: - если с “+” на “-”, то х 0 - т. max - если с “-” на “+”, то х 0 - т. min 55 . Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба. Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках. Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке. Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная 0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0 Достаточный признак: если f``( x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0 , то линия вогнутая Признаки точки перегиба: чтобы X 0 была т. перегиба, чтобы у `` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х 0 . 56. Асимптота графика ф-ции.

Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает. 1) прямая х=х 0 назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y , если при х ® х 0 |f(x)| ® + ( вида x=b) 2) y=kx+b , , y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+ a (б.м.в.) по св-ву x ® пределов. разделим левую и правую части на х.

Возьмем предел при х ® f(x)/x=k+b/x+ a /x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim( a /x) x ® , то k=lim(f(x)/x) b=lim[f(x)-kx] Если эти пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx+b=y 3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота. 57. Предел и непрерывность ф-ции нескольких переменных.

Величина U наз-ся ф-цией переменных ( x 1 ,x 2 ...x n ) , если каждой, рассматриваемой в совокупности этих величин соотв-ет 1 определенное значение величины U. Пусть f(M)=M 0 (x 1 0 , x 2 0 ,... x n 0 ), M(x 1 , x 2 ,... x n ) Ф-ция f(M)=f(x 1 , x 2 ,... x n ) имеет предел А при М 0 ® М, если каждому значению как угодно малого числа d (дельта) соотв-ет, как угодно малое заданное число e >0 , если |M 0 M|= d , то |f(M)-A| e Ф-ция f(M) наз-ся непрерывной в точке М 0 , если б.м. приращению любого аргумента соответствует б.м. приращение ф-ции. limf(x 1 0 , x 2 0 ,... x n 0 )=limf(x 1 , x 2 ,... x n ) x 1 0 ® x 1 x 2 0 ® x 2 x n 0 ® x n 58. а) Частная производная ф-ции нескольких переменных. б) Частный и полный дифференциалы. а) рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных x=f(x,y), точка A(x 0 ,y 0 ) D z=f(x 0 + D x, y 0 + D y)-f(x 0 ,y 0 ) - полное приращение.

Частное приращение по х (по у): D xZ=f(x 0 + D x, y)-f(x 0 , y 0 ) D yZ=f(y 0 + D y, x)-f(x 0 , y 0 ) Частная производная ф-ция: dxZ=Z x `* D x= ¶ Z/ ¶ x*dx; dxZ=Z y `* D y= ¶ Z/ ¶ y*dy Полный дифференциал dZ=d x Z+d y Z=Z` x dx +Z` y dy dZ= ¶ Z/ ¶ x*dx+= ¶ Z/ ¶ y*dy Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить. 59. Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных.

Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных.

Частное производной 2го порядка от ф-ции Z явл. частная производная от 1й производной: Z`` XX =(Z` x )` x ; Z`` yy =(Z` y )` y Z`` Xy =(Z` x )` y =(Z` y )` x 60 . Экстремумы ф-ции нескольких переменных.